小乐数学科普:庆祝安德鲁·怀尔斯证明费马大定理30周年纪念日——译自艾萨克·牛顿研究所播客Living Proof
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小乐数学科普:庆祝安德鲁·怀尔斯证明费马大定理30周年纪念日——译自艾萨克·牛顿研究所播客Living Proof

来源:个人图书馆-zzllrr小乐 2023-07-07 09:08:22

作者:Rachel Thomas、Marianne Fryberger、Dan Aspel 2023-6-23

译者:zzllrr小乐,数学科普微信公众号 2023-7-6


【资料图】

丹·阿斯佩尔(Dan Aspel):您好,欢迎来到艾萨克·牛顿研究所播客《Living Proof》。我叫丹·阿斯佩尔。今天,我们在一个非常重要的日子为您带来一个非常特别的剧集。这是因为2023年6月23日,距离安德鲁·怀尔斯爵士首次证明费马大定理已经过去30周年了。这是在INI(Isaac Newton Institute 艾萨克·牛顿研究所)的主研讨室举行的,是新成立的研究所举办的首批项目之一。您即将听到的这部引人入胜的纪录片是我们与Plus杂志的同事Marianne Fryberger(玛丽安娜·弗莱伯格)和Rachel Thomas(瑞秋·托马斯)合作制作的。您可以在和Podbean上找到通过《Maths on the Move》播客托管的相同内容。在她们的同一网站和我们自己的 的《Maths on the move》播客的特别联合版。我是玛丽安娜·弗莱伯格。

瑞秋·托马斯:我是瑞秋·托马斯。在这个播客中,我们和来自艾萨克·牛顿研究所的好朋友丹·阿斯佩尔(Dan Aspel)很幸运地在安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)的牛津大学学术之家与他进行了交谈。

玛丽安娜·弗莱伯格:我们还采访了剑桥大学数学系的同事汤姆·克纳(Tom Körner) 和杰克·索恩 (Jack Thorne)。在我们深入研究怀尔斯令人惊叹且鼓舞人心的故事的细节之前,让我们先看一下其核心的著名定理。让我们首先考虑 x²+y²=z²形式的方程。瑞秋,问题是你能找到三个非零整数的解,即x、y和z都是整数吗?

瑞秋·托马斯:嗯,我从毕达哥拉斯定理(即勾股定理)那里知道,如果我有一个直角三角形,两条直角边长分别为x、y,斜边长度为z,则 x²+y²=z²。所以我知道肯定有一些。事实上,我碰巧知道有一个整数解,如果你有一个直角边长分别为3、4的直角三角形,斜边的长度将为5,因为3的平方加4的平方等于5的平方。事实上,我认为另一个解是12的平方加5的平方等于13的平方。所以我肯定至少得到该方程的两个解。

玛丽安娜·弗莱伯格:事实上,有无限多个满足该方程的整数三元组,称为(Pythagorean triples)。剑桥大学的汤姆·克纳30年前有幸见证了怀尔斯 (Wiles) 宣布证明了(Frey elliptic curve)。因此,你可以使用此解写下另一个方程式。基本思想是,这条椭圆曲线,无论它是什么,都应该具有非常奇怪的属性,以至于它不可能实际存在,这就是矛盾之处。但你会说,奇怪的属性是什么?我该如何证明它不存在?然后你必须采取一个额外的步骤,即与先验的东西联系起来,这似乎是数学的另一个部分,即(modular form)的世界。因此,这些是来自分析的其他类型的对象,它们具有与椭圆曲线所拥有的不同的对称性。但在20世纪下半叶出现了一系列数学家,通常按照时间顺序排列的名字是 Taniyama(谷山)、Shimura(志村)、Weil(韦伊)。一系列数学家建议,对于任何椭圆曲线,例如你可能从费马方程的解开始写下的椭圆曲线,都可以关联一个模形式。现在人们称之为(Frey curve)。这是椭圆曲线的一个例子。因此人们认为,任何椭圆曲线都应该与另一个称为模形式的对象相关联。现在我们不会在这里讨论什么是模形式,我们只是接受应该有这样一个模形式连接到每个椭圆曲线。椭圆曲线和模形式之间应该存在这种联系,这一事实就是著名的模猜想。1980年代中期,数学家约翰·皮埃尔·塞尔 (John Pierre-Serre) 和肯·里贝特 (Ken Ribet) 的研究表明,如果费马最后定理是错误的,即费马方程存在整数解,那么弗雷曲线就会变得很奇怪,而根本不可能出现与之相关的模形式。

瑞秋·托马斯:啊,原来矛盾就在这里。因此,如果可以证明模猜想,即每个椭圆曲线确实都有一个模形式,那么就可以证明这种奇怪的弗雷曲线不可能存在。因为如果真的存在,那么它将没有关联的模形式。因此,我们假设的费马方程的解也不存在,这使得费马最后定理成立。

玛丽安娜·弗莱伯格:完全正确。这正是Serre和Ribet在1980年代的工作,让怀尔斯燃起费马大定理能被证明的希望。在这里,他再次开始讲述这个故事。

(modularity)的问题。现在,这些模性质问题正为所谓的朗兰兹纲领的伟大前景打开了一扇大门。这就是数学的未来。

玛丽安娜·弗莱伯格:除了向我们解释之外,即使面向专家也很难解释朗兰兹纲领。所以我们不会在这个播客中尝试它。简言之,它由罗伯特·朗兰兹 (Robert Langlands) 在1960年代提出的一系列影响深远的猜想组成,在不同的数学领域之间建立了极其令人惊讶的联系。许多人将证明所有这些猜想视为现代数学中最大的项目。特别是,朗兰兹告诉我们,模形式领域提供了解决数论问题的工具,这些工具更类似于我们从微积分中学到的知识。安德鲁·怀尔斯又来了。

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