小乐数学科普：庆祝安德鲁·怀尔斯证明费马大定理30周年纪念日——译自艾萨克·牛顿研究所播客Living Proof

作者：Rachel Thomas、Marianne Fryberger、Dan Aspel 2023-6-23

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-6

【资料图】

丹·阿斯佩尔（Dan Aspel）：您好，欢迎来到艾萨克·牛顿研究所播客《Living Proof》。我叫丹·阿斯佩尔。今天，我们在一个非常重要的日子为您带来一个非常特别的剧集。这是因为2023年6月23日，距离安德鲁·怀尔斯爵士首次证明费马大定理已经过去30周年了。这是在INI（Isaac Newton Institute 艾萨克·牛顿研究所）的主研讨室举行的，是新成立的研究所举办的首批项目之一。您即将听到的这部引人入胜的纪录片是我们与Plus杂志的同事Marianne Fryberger（玛丽安娜·弗莱伯格）和Rachel Thomas（瑞秋·托马斯）合作制作的。您可以在和Podbean上找到通过《Maths on the Move》播客托管的相同内容。在她们的同一网站和我们自己的 的《Maths on the move》播客的特别联合版。我是玛丽安娜·弗莱伯格。

瑞秋·托马斯：我是瑞秋·托马斯。在这个播客中，我们和来自艾萨克·牛顿研究所的好朋友丹·阿斯佩尔（Dan Aspel）很幸运地在安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）的牛津大学学术之家与他进行了交谈。

玛丽安娜·弗莱伯格：我们还采访了剑桥大学数学系的同事汤姆·克纳（Tom Körner) 和杰克·索恩 (Jack Thorne)。在我们深入研究怀尔斯令人惊叹且鼓舞人心的故事的细节之前，让我们先看一下其核心的著名定理。让我们首先考虑 x²+y²=z²形式的方程。瑞秋，问题是你能找到三个非零整数的解，即x、y和z都是整数吗？

瑞秋·托马斯：嗯，我从毕达哥拉斯定理（即勾股定理）那里知道，如果我有一个直角三角形，两条直角边长分别为x、y，斜边长度为z，则 x²+y²=z²。所以我知道肯定有一些。事实上，我碰巧知道有一个整数解，如果你有一个直角边长分别为3、4的直角三角形，斜边的长度将为5，因为3的平方加4的平方等于5的平方。事实上，我认为另一个解是12的平方加5的平方等于13的平方。所以我肯定至少得到该方程的两个解。

玛丽安娜·弗莱伯格：事实上，有无限多个满足该方程的整数三元组，称为（Pythagorean triples）。剑桥大学的汤姆·克纳30年前有幸见证了怀尔斯 (Wiles) 宣布证明了（Frey elliptic curve）。因此，你可以使用此解写下另一个方程式。基本思想是，这条椭圆曲线，无论它是什么，都应该具有非常奇怪的属性，以至于它不可能实际存在，这就是矛盾之处。但你会说，奇怪的属性是什么？我该如何证明它不存在？然后你必须采取一个额外的步骤，即与先验的东西联系起来，这似乎是数学的另一个部分，即（modular form）的世界。因此，这些是来自分析的其他类型的对象，它们具有与椭圆曲线所拥有的不同的对称性。但在20世纪下半叶出现了一系列数学家，通常按照时间顺序排列的名字是 Taniyama（谷山）、Shimura（志村）、Weil（韦伊）。一系列数学家建议，对于任何椭圆曲线，例如你可能从费马方程的解开始写下的椭圆曲线，都可以关联一个模形式。现在人们称之为（Frey curve）。这是椭圆曲线的一个例子。因此人们认为，任何椭圆曲线都应该与另一个称为模形式的对象相关联。现在我们不会在这里讨论什么是模形式，我们只是接受应该有这样一个模形式连接到每个椭圆曲线。椭圆曲线和模形式之间应该存在这种联系，这一事实就是著名的模猜想。1980年代中期，数学家约翰·皮埃尔·塞尔 (John Pierre-Serre) 和肯·里贝特 (Ken Ribet) 的研究表明，如果费马最后定理是错误的，即费马方程存在整数解，那么弗雷曲线就会变得很奇怪，而根本不可能出现与之相关的模形式。

瑞秋·托马斯：啊，原来矛盾就在这里。因此，如果可以证明模猜想，即每个椭圆曲线确实都有一个模形式，那么就可以证明这种奇怪的弗雷曲线不可能存在。因为如果真的存在，那么它将没有关联的模形式。因此，我们假设的费马方程的解也不存在，这使得费马最后定理成立。

玛丽安娜·弗莱伯格：完全正确。这正是Serre和Ribet在1980年代的工作，让怀尔斯燃起费马大定理能被证明的希望。在这里，他再次开始讲述这个故事。

（modularity）的问题。现在，这些模性质问题正为所谓的朗兰兹纲领的伟大前景打开了一扇大门。这就是数学的未来。

玛丽安娜·弗莱伯格：除了向我们解释之外，即使面向专家也很难解释朗兰兹纲领。所以我们不会在这个播客中尝试它。简言之，它由罗伯特·朗兰兹 (Robert Langlands) 在1960年代提出的一系列影响深远的猜想组成，在不同的数学领域之间建立了极其令人惊讶的联系。许多人将证明所有这些猜想视为现代数学中最大的项目。特别是，朗兰兹告诉我们，模形式领域提供了解决数论问题的工具，这些工具更类似于我们从微积分中学到的知识。安德鲁·怀尔斯又来了。

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